По закону движения найти скорость и ускорение
Как это выглядит в жизни
Представь машину на прямой дороге. Ось x направлена вправо, а машина едет влево, поэтому координата и скорость получаются со знаком минус. В момент t = 0 машина стоит. Потом трогается, и водитель всё сильнее давит на газ: разгон с каждым мгновением становится резче.
Масштаб: за 1 секунду машина проезжает 1,23 м и разгоняется до 3,1 м/с (около 11 км/ч). Ускорение к концу 6,9 м/с². Примерно так ускоряется хорошая машина на резком старте (0–100 км/ч за 4 секунды).
Как увидеть разгон глазами. Сфотографируй машину со вспышкой каждые 0,1 с. Если бы она ехала равномерно, отметки шли бы через одинаковые промежутки. Здесь промежутки растут: за каждые следующие 0,1 с машина проезжает больше, чем за предыдущие. Это и есть разгон. На модели ниже такие отметки оставляет машинка.
Отметки на дороге поставлены каждые 0,1 с, и промежутки между ними растут. Скорость и ускорение направлены в одну сторону, поэтому машина разгоняется.
Что происходит физически
- Старт. При t = 0: cos 0 = 1, ln 1 = 0. Тело стоит в начале координат, скорость v(0) = 0.
- Ускорение в момент старта не ноль, а −2 м/с². Тело ещё стоит, но на него уже действует «толчок», и оно начинает разгоняться. Так и машина в первый момент нажатия на газ: скорости ещё нет, а ускорение уже есть.
- Дальше cos t < 1, логарифм отрицательный: x < 0, тело уходит влево. Скорость отрицательная и по модулю растёт.
- Знаки v и a совпадают (оба минус), значит, тело разгоняется. Если бы они были разными, оно бы тормозило. Само по себе «ускорение отрицательное» не значит «тормозит».
- Ускорение не постоянное: оно растёт по модулю от 2 до 6,9 м/с². Это не равноускоренное движение из школы.
Что значит «посчитать производную численно»
В жизни так скорость считает GPS в телефоне. Он не знает формулу твоего движения, он знает только, где ты был в каждую секунду. Скорость он считает как пройденное расстояние, делённое на время между отметками.
В задаче так же: есть только таблица координат через каждые 0,01 с. Центральная разность берёт отметку чуть раньше и чуть позже нужного момента и делит расстояние между ними на время. Это точнее, чем брать «сейчас и чуть позже», потому что ошибки слева и справа взаимно гасятся. Ускорение считаем так же, только по таблице скоростей: как быстро меняются показания спидометра.
Наклон линии на графике x(t) — это скорость. Пунктир — касательная, то есть точная скорость. Оранжевая хорда — центральная разность, серая — односторонняя. Увеличь шаг: серая уходит заметно, оранжевая почти совпадает с касательной.
- На концах отрезка соседа с одной стороны нет, поэтому там используют одностороннюю формулу по трём точкам.
- Погрешность. Абсолютная — на сколько м/с ошиблись. Относительная — какая это доля от самой величины, в процентах. У скорости ошибка ~10⁻⁴ м/с, у ускорения до 0,16 м/с², в среднем около 0,05 %.
Формулы в двух словах
численно: vi = (xi+1 − xi−1) / (2Δt)
Скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости. Численная формула — это «расстояние между соседними отметками / время между ними».
Что спросят
Почему погрешность растёт к концу отрезка?
К t = 1 график x(t) сильнее изгибается: скорость и ускорение быстро растут. Хорда хуже повторяет кривую, если та сильно гнётся. На прямом участке хорда совпала бы с касательной идеально.
Почему ошибка ускорения больше, чем у скорости?
Ускорение — вторая производная: дифференцируем уже неточную скорость, и ошибки накапливаются. Кроме того, дифференцирование само усиливает ошибки: маленькую разность делим на маленький Δt. И самые большие ошибки на краях, где формулы односторонние.
Почему отрезок только до 1 секунды?
При t → π/2 ≈ 1,57 с косинус стремится к нулю, ln(cos t) → −∞, tg t → ∞. Тело за конечное время «улетело бы на бесконечность» с бесконечной скоростью. Так не бывает, поэтому модель имеет смысл только на ограниченном отрезке.
Как уменьшить погрешность?
Уменьшить шаг Δt: ошибка падает как Δt². Но бесконечно уменьшать нельзя: при очень малом шаге мешают ошибки округления компьютера, потому что вычитаются почти равные числа.
Скорость отрицательная и ускорение отрицательное. Это торможение?
Нет. Знак показывает направление: тело движется против оси x, и ускорение направлено туда же. Модуль скорости растёт, тело разгоняется. Разгон или торможение определяется тем, совпадают ли знаки v и a.
Зачем вообще считать численно, если есть формула?
В реальных задачах формулы часто нет, есть только измерения, как у GPS. Здесь метод проверяют на функции, у которой точный ответ известен, и смотрят, насколько он ошибается.
По ускорению найти скорость
Как это выглядит в жизни
Это задача 1 наоборот. В телефоне есть акселерометр: он меряет ускорение, а скорость не меряет. Чтобы узнать скорость, ускорение нужно «накопить» во времени.
Представь копилку. Ускорение — это сколько м/с ты кладёшь в копилку каждую секунду. Скорость — сколько в копилке накопилось. Начальная скорость — сколько там лежало с самого начала (здесь 0). Ускорение всё время положительное, мы всё время только докладываем, поэтому скорость только растёт.
Масштаб: ускорение около 5 м/с², это половина ускорения свободного падения, как разгон спорткара. За полсекунды тело набирает 2,64 м/с (около 9,5 км/ч).
Что происходит физически
- Ускорение не меньше 5 м/с² и положительное, тело всё время разгоняется.
- Ускорение само понемногу растёт (от 5 до 5,9 м/с²): в копилку кладём каждую секунду чуть больше, поэтому график v(t) слегка загибается вверх.
- За полсекунды ускорение меняется мало, поэтому v(t) почти прямая. Основной вклад даёт постоянная часть ускорения: 2,5 м/с из 2,64.
- Площадь под графиком a(t) равна прибавке скорости. Высота полоски — сколько м/с за секунду, ширина — сколько секунд. Перемножили и получили, сколько м/с прибавилось.
Численно — метод трапеций. Время режем на маленькие кусочки по 0,01 с. На каждом кусочке прибавка скорости равна среднему ускорению на кусочке, умноженному на 0,01 с: это площадь узкой трапеции под графиком. Сложили все трапеции и получили скорость.
Каждая закрашенная трапеция слева — это одна точка-прибавка на графике скорости справа. Даже одна трапеция ошибается всего на 3 %, а в отчёте их 50.
Формулы в двух словах
численно: vi+1 = vi + (ai + ai+1)/2 · Δt
Интеграл — это та самая площадь под графиком. Константа интегрирования — начальная скорость.
Что спросят
Почему численный ответ совпал с точным?
Шаг маленький, а ускорение гладкое и меняется медленно, поэтому трапеции почти идеально повторяют площадь. Ошибка порядка 10⁻⁵ м/с, это меньше последнего знака ответа. Интегрирование к тому же сглаживает ошибки: мы складываем, а не вычитаем близкие числа.
Зачем нужна начальная скорость?
Ускорение говорит только, как меняется скорость, но не с чего она начиналась. Одно и то же a(t) подходит машине, стоявшей на месте, и машине, ехавшей 10 м/с. Начальная скорость задаёт константу интегрирования: сколько было в копилке.
Почему график v(t) выпуклый вниз?
Наклон графика скорости равен ускорению. Ускорение растёт, значит, наклон растёт, и кривая загибается вверх.
А как найти координату?
Ещё раз проинтегрировать v(t), то есть найти площадь под графиком скорости. Понадобится ещё начальная координата x₀.
Чем численное интегрирование «лучше» дифференцирования?
При дифференцировании вычитаем почти равные числа и делим на маленький шаг, ошибки растут. При интегрировании складываем много маленьких площадей, и случайные ошибки частично гасят друг друга.
Свободные колебания без трения
а) Построить x(t), v(t), a(t) при m = 0,7 кг.
б) Исследовать зависимость колебаний от массы (три значения m), построить 3D-график x(t, m).
в) Добавить вязкое трение F = −bv (три значения b), построить 3D-график x(t, b).
г) Добавить внешнюю силу F₀·cos Ωt (три частоты), построить 3D-график x(t, Ω).
Как это выглядит в жизни
На гладком столе лежит груз, привязанный к пружине. Другой конец пружины прикреплён к стене. Груз оттягивают на 3 см и отпускают. Трения о стол нет, груз скользит как по льду.
- m = 0,7 кг — как бутылка воды на 0,7 л.
- k = 0,9 Н/м — очень мягкая пружина. Чтобы растянуть её на 10 см, хватит силы 0,09 Н, это вес примерно 9 граммов (пара монет). Больше похоже на пружинку-радугу (слинки), чем на пружину от ручки.
- Поэтому колебания медленные: один полный размах туда-обратно длится 5,5 с.
- Где такое в жизни: кузов машины на пружинах подвески качается после кочки; батут; линейка, прижатая к краю стола; грузик на резинке.
Что происходит физически
Графики нормированы на свои максимумы, чтобы были видны сдвиги фаз. Нажми «Стоп: крайняя точка» и «Стоп: центр» и сравни стрелки и столбики энергии.
- Крайняя точка (x = A). Пружина растянута сильнее всего и тянет груз к стене с наибольшей силой. Ускорение максимально. Скорость равна нулю: груз только что отпустили.
- Движение к центру. Пружина тянет, груз разгоняется. Но растяжение уменьшается, и тянет она всё слабее.
- Положение равновесия (x = 0). Пружина не растянута и не сжата: силы нет, ускорение ноль. Зато скорость максимальна, ведь груз разгоняли весь путь.
- Проскок по инерции. Груз не может мгновенно остановиться и проезжает центр. Пружина начинает сжиматься и толкает его обратно, то есть тормозит.
- Другая крайняя точка (x = −A). Груз остановился, пружина сжата сильнее всего и толкает его обратно. Всё повторяется.
Энергия. Сжатая или растянутая пружина запасает энергию, как натянутая тетива лука. В крайних точках вся энергия в пружине (потенциальная), в центре вся в движении груза (кинетическая). Энергия переливается туда-обратно, сумма не меняется. Трения нет, энергия никуда не уходит, поэтому груз качается вечно с одним размахом 3 см.
Фазы, на графиках модели:
- Скорость опережает координату на четверть периода (π/2). Груз сначала разгоняется (максимум скорости в центре) и только потом доходит до края (максимум x). Когда x максимальна, v = 0, и наоборот.
- Ускорение в противофазе с координатой (сдвиг π). Груз справа — пружина тянет влево; груз слева — толкает вправо. Ускорение всегда направлено к центру.
Формулы в двух словах
x = A·cos ω₀t v = −Aω₀·sin ω₀t a = −Aω₀²·cos ω₀t = −ω₀²x
Закон Гука: сила пружины пропорциональна растяжению, минус означает «к центру». Косинус, потому что в начале груз в крайней точке и стоит. Если бы его толкнули из центра, был бы синус.
Что спросят
Почему ω₀ = √(k/m)? Объясни без формул.
Жёстче пружина — сильнее тянет при том же смещении, груз возвращается быстрее, частота выше. Тяжелее груз — он инертнее, его труднее разогнать и остановить, колебания медленнее.
Зависит ли период от амплитуды?
Нет, это называется изохронность. Если оттянуть сильнее, путь больше, но и сила больше, груз сильнее разгоняется, и эти эффекты точно компенсируются. Так верно, пока выполняется закон Гука.
Где ускорение максимально и где скорость максимальна?
Ускорение максимально в крайних точках, где пружина деформирована сильнее всего. Скорость максимальна в положении равновесия, где сила равна нулю, но груз уже разогнан.
Почему груз не останавливается в положении равновесия?
По инерции. В центре сила равна нулю, но скорость максимальна. Остановить груз может только сила, а она появляется, лишь когда груз уйдёт за центр и пружина начнёт сжиматься.
Почему колебания не затухают?
В модели нет трения, полная энергия сохраняется. Затухание появляется в пункте «в», когда добавляем вязкое трение.
Тяжелее груз — медленнее колебания
Как это выглядит в жизни
На ту же пружину по очереди вешаем стакан воды (0,3 кг), бутылку 0,7 л и полторашку 1,5 л. Каждый раз оттягиваем на те же 3 см и отпускаем.
Знакомый пример — машина. Пустая машина после кочки качается быстро и мелко. Загруженная людьми и вещами качается медленнее и плавнее: пружины те же, а масса больше.
Что происходит физически
Все три доходят до одной и той же пунктирной границы ±3 см. Лёгкий успевает сделать больше колебаний.
- Тяжёлый груз медленнее, потому что он инертнее: пружина тянет с той же силой, а разогнать и остановить его труднее.
- Зависимость не прямая, а через корень: масса выросла в 5 раз (0,3 → 1,5), период вырос в √5 ≈ 2,2 раза (3,6 → 8,1 с).
- Размах у всех одинаковый, 3 см. Его задали мы, когда оттянули. Пружина возвращает каждый груз ровно туда, откуда его отпустили.
- Энергия у всех одна (её запасли в пружине, растянув её на 3 см). Но тяжёлый груз при той же энергии движется медленнее.
- 3D-график в отчёте: вдоль оси массы видно, как волны растягиваются по времени, а их высота не меняется.
Формулы в двух словах
Что спросят
Почему амплитуда одинаковая у всех масс?
Амплитуду задают начальные условия: всех отпустили с 3 см без скорости. Трения нет, энергия сохраняется, поэтому каждый груз возвращается ровно на 3 см.
Какой груз быстрее проходит центр?
Лёгкий. Энергия у всех одна, а при меньшей массе та же энергия даёт большую скорость.
Затухающие колебания
Как это выглядит в жизни
Тот же груз на пружине, но теперь всё это опускают в жидкость. В воздухе груз качается долго, почти не замечая сопротивления. В воде сделает несколько качаний и успокоится. В мёде даже не качнётся: медленно сползёт к центру и остановится.
Вязкое трение — это сопротивление среды, которое тем сильнее, чем быстрее движешься. Махни рукой в бассейне медленно, и вода почти не мешает. Махни быстро, и она сильно тормозит.
Амортизатор в машине — это как раз специально подобранное трение (поршень в масле). Пружины держат кузов, а амортизатор не даёт ему раскачиваться после кочки. Если амортизаторы «убиты», машина после кочки долго качается, как груз с маленьким b.
Что происходит физически
Время на модели идёт в 2 раза быстрее. Пунктир — огибающая, по ней видно, как уменьшается размах. Красная стрелка у груза — сила трения, она всегда против движения.
- Трение всё время отнимает энергию и превращает её в тепло. Пружине каждый раз «нечего отдать» в прежнем объёме, и каждый следующий размах меньше предыдущего.
- Размах убывает в одно и то же число раз за каждое колебание. Пока груз качается сильно, он движется быстро и трение отнимает много. Когда качается слабо, отнимает мало. Получается плавное затухание по экспоненте, без резкой остановки.
- Чем больше трение, тем быстрее затухание. При b = 0,05 размах уменьшается в 2,7 раза примерно за 28 с, при b = 0,5 — за 2,8 с.
- Колебания чуть медленнее, чем без трения: среда тормозит груз, и каждый размах занимает чуть больше времени. У нас эта разница мала.
- Если трение очень большое (кнопка «как в мёде»), колебаний нет вообще: груз ползёт к центру и ни разу его не проскакивает. Граничный случай — критическое затухание: груз возвращается в центр быстрее всего и без колебаний. Так настраивают дверные доводчики и стрелочные приборы.
Формулы в двух словах
x(t) = A·e−βt·(cos ωt + (β/ω)·sin ωt), ω = √(ω₀² − β²)
β — коэффициент затухания, «насколько быстро гаснет». Главное в решении — множитель e−βt: это огибающая, по которой уменьшается размах. Колебания есть, пока β < ω₀; в работе это выполнено для всех трёх b.
Что спросят
Что будет, если трение очень большое (β ≥ ω₀)?
Колебаний не будет. Груз медленно сползёт к положению равновесия, ни разу его не проскочив: это апериодическое движение. При β = ω₀ (критическое затухание) он возвращается быстрее всего без колебаний. Проверь кнопками на модели.
Почему частота при трении уменьшается?
Трение тормозит груз: каждый размах он проходит медленнее, чем без трения. Период растёт, частота падает.
Куда девается энергия?
Переходит в тепло: нагреваются среда и груз. Работа силы трения всегда отрицательная, потому что сила направлена против скорости.
Что такое β и τ по смыслу?
β показывает, как быстро затухают колебания. τ = 1/β — время, за которое размах уменьшается в e ≈ 2,7 раза. Больше трение и меньше масса — быстрее затухание.
Внешняя сила и резонанс
Как это выглядит в жизни
Качели. Ребёнка на качелях подталкивают. Если толкать в такт, когда качели уходят от тебя, они раскачиваются всё сильнее, хотя каждый толчок слабый. Если толкать невпопад, то часть толчков помогает, часть мешает, и качели еле шевелятся. Это и есть резонанс.
Зелёная стрелка — толкающая сила, на обоих качелях она одинаково слабая. Левые толкают с их собственной частотой, правые в 1,6 раза чаще. Подожди 15–20 секунд.
Масштаб задачи: F₀ = 0,01 Н — это вес одного грамма. А на резонансе такая сила раскачивает бутылку до размаха 8,8 см, почти втрое больше, чем мы оттягивали её руками.
Ещё примеры: застрявшую в снегу машину раскачивают «враскачку»; стиральная машина сильно трясётся на определённых оборотах отжима; солдатам запрещают идти в ногу по мосту; певец голосом разбивает бокал.
Что происходит физически
Зелёная стрелка — внешняя сила, оранжевая — скорость. На резонансе они всё время смотрят в одну сторону. Время ускорено в 4 раза.
- Сначала неразбериха (переходный процесс). Груз пытается качаться со своей частотой, а сила навязывает свою. В начале графика неровные колебания.
- Собственные колебания затухают из-за трения, примерно за 15–30 с.
- Груз качается с частотой силы, а не со своей. Сила «дирижирует». Размах устанавливается такой, при котором энергия, которую сила вкачивает за период, равна энергии, которую съедает трение.
Почему на резонансе размах огромный. Когда частота силы равна собственной частоте, сила толкает груз всегда по ходу движения, как правильный толчок качелей. Каждый толчок только добавляет энергию. Размах растёт, пока трение не начнёт съедать столько же, сколько добавляет сила. Поэтому высоту резонанса ограничивает только трение; без трения размах рос бы бесконечно.
Почему вдали от резонанса размах маленький. Сила то помогает, то мешает: половину времени толкает по ходу, половину против. За период она почти ничего не добавляет.
| Ω ≪ ω₀ сила медленная φ ≈ 0 | Сила меняется медленно, пружина успевает следить: груз просто смещается туда, куда тянут, как если бы его медленно водили рукой. Колебания в фазе с силой, размах ≈ 1,5 см. |
| Ω = ω₀ резонанс φ = π/2 | Сила совпадает по направлению со скоростью, толкает туда, куда груз и так едет. Самая эффективная раскачка, размах ≈ 8,8 см. |
| Ω ≫ ω₀ сила быстрая φ ≈ π | Сила дёргает туда-сюда слишком часто, груз из-за инерции не успевает и только мелко дрожит, причём в противофазе силе. Размах ≈ 0,9 см. |
Формулы в двух словах
Aу = (F₀/m) / √((ω₀² − Ω²)² + 4β²Ω²), tg φ = 2βΩ / (ω₀² − Ω²)
Знаменатель амплитуды минимален, когда Ω ≈ ω₀: первое слагаемое обнуляется, и остаётся только трение (β). Отсюда резонанс и то, что его высоту ограничивает трение.
Что спросят
Резонанс ровно при Ω = ω₀?
Строго говоря, максимум размаха при Ωрез = √(ω₀² − 2β²), чуть ниже ω₀. У нас трение маленькое, и разница ничтожна: 1,130 против 1,134 рад/с. А сдвиг фазы ровно π/2 получается точно при Ω = ω₀.
От чего зависит острота резонанса?
От трения. Чем оно меньше, тем выше и уже пик: раскачать можно только очень точно в такт. Подвигай ползунок трения на модели.
С какой частотой колеблется груз в установившемся режиме?
С частотой внешней силы Ω. Собственные колебания затухли из-за трения, осталась только навязанная частота.
Что было бы без трения?
Собственные колебания не затухли бы, и движение всегда было бы смесью двух частот. На резонансе размах рос бы неограниченно.
Почему на резонансе сдвиг фазы π/2, а не 0?
Для раскачки важно, чтобы сила совпадала по направлению со скоростью, а не с отклонением. Скорость опережает координату на π/2, поэтому координата отстаёт от силы на π/2. На качелях так же: толкаешь, когда они проходят низ и уходят от тебя, а не когда они в крайней точке.
Противофаза: колебания гасят друг друга
а) Одного направления, с одинаковой частотой ω = 5 рад/с: a₁ = 0,5 м, a₂ = 0,4 м, φ₁ = 0, φ₂ = π. Найти результирующее колебание.
б) Одного направления, с частотами ω₁ = 51 и ω₂ = 52 рад/с.
в) Взаимно перпендикулярных: ω₁ = 1, ω₂ = 3 рад/с, a₁ = a₂ = 0,2 м, φ₁ = 0, φ₂ = π/2. Построить траекторию.
Как это выглядит в жизни
Тело одновременно участвует в двух колебаниях. Например, на груз действуют две пружины или два моторчика, и каждый в одиночку качал бы его со своим размахом. В итоге тело качается так, как будто сложили оба движения.
Наушники с шумоподавлением. Микрофон слышит шум, и динамик выдаёт такую же волну, но в противофазе: где у шума «горб», у антишума «впадина». Они складываются и гасят друг друга. Так же две волны на воде: горб встретился со впадиной, и вода на месте встречи почти не шевелится.
У нас гашение неполное: одно колебание 0,5 м, другое 0,4 м, они в противофазе. Остаётся разница 0,1 м.
Что происходит физически
Векторная диаграмма. Колебание удобно представить как стрелку, которая вращается по кругу. Длина стрелки — размах, угол — фаза. Высота кончика стрелки в каждый момент и есть значение колебания. Сложить два колебания — значит приставить одну стрелку к концу другой.
Вращение замедлено в 5 раз. Пунктир переносит высоту кончика стрелки на график справа. Нажми «в фазе» и «противофаза» и сравни фиолетовую сумму.
- Частоты одинаковые, стрелки вращаются вместе и угол между ними не меняется. Поэтому сумма — снова ровное колебание той же частоты с постоянным размахом.
- В фазе стрелки смотрят в одну сторону, размахи складываются: 0,9 м.
- В противофазе смотрят в разные стороны: когда одно колебание тянет вверх, другое вниз. Размахи вычитаются: 0,1 м.
- Итоговое колебание идёт «в такт» большему из двух (0,5 > 0,4): более сильное побеждает.
Формулы в двух словах
Это теорема косинусов для треугольника из двух стрелок.
Что спросят
А если бы фазы совпадали?
Стрелки сонаправлены, размахи складываются: 0,9 м. Это максимум, противофаза даёт минимум 0,1 м. Любая другая разность фаз даёт что-то между ними.
Почему сумма — тоже гармоническое колебание?
Стрелки вращаются с одной скоростью, и их сумма — стрелка постоянной длины, вращающаяся с той же скоростью. А вращающаяся стрелка постоянной длины и есть гармоническое колебание.
Когда колебания погасят друг друга полностью?
Если они в противофазе и размахи равны (a₁ = a₂). Так работают идеальные шумоподавляющие наушники.
Биения: 51 и 52 рад/с
Как это выглядит в жизни
Две гитарные струны, настроенные почти одинаково. Если дёрнуть обе, звук не ровный, а «плавает»: громко, тихо, громко, тихо (уа-уа-уа). Гитаристы по этому и настраивают: крутят колок, пока «уа-уа» не замедлится и не пропадёт. Послушай сам:
Ещё пример: двухмоторный самолёт или катер, у которого моторы крутятся чуть по-разному. Слышно, как гул «плавает» волнами.
Масштаб задачи: 51 и 52 рад/с — это примерно 8,1 и 8,3 колебания в секунду. Быстрое дрожание, а «волна» громкости приходит раз в 6,3 с.
Что происходит физически
Слева стрелки, если смотреть «вместе с первой стрелкой»: видно только, как вторая медленно оборачивается вокруг первой. Длина фиолетовой суммы — текущий размах.
- Одно колебание чуть-чуть быстрее другого и понемногу его «обгоняет».
- Когда они совпадают (в фазе), размахи складываются: 2 м, громко.
- Когда одно обогнало другое на полоборота (противофаза), они гасят друг друга: 0, тихо.
- Потом опять совпадают, и так по кругу. Получается быстрое дрожание (≈ 51,5 рад/с), у которого размах медленно «дышит» от 0 до 2 м.
- Чем ближе частоты, тем медленнее биения. Период биений 2π/Δω = 6,3 с; на графике провалы около 3,1 и 9,4 с.
Формулы в двух словах
медленная огибающая × быстрое колебание; период биений T = 2π/Δω ≈ 6,28 с
Что спросят
У огибающей cos(0,5t) период 4π. Почему период биений 2π?
Размах — это модуль огибающей, |2·cos 0,5t|. Модуль косинуса повторяется вдвое чаще, поэтому период биений 2π ≈ 6,3 с. На графике между двумя провалами как раз 6,3 с.
Зачем взяли равные амплитуды?
Они не даны в условии. При равных размахах биения полные: в противофазе колебания гасят друг друга до нуля. При разных размах менялся бы от |a₁ − a₂| до a₁ + a₂.
Что будет, если частоты сильно отличаются?
Обгон будет таким быстрым, что «дыхание» громкости перестанет быть медленным, и сумма будет выглядеть как сложный неровный сигнал. Биения заметны именно при близких частотах.
Фигура Лиссажу 1 : 3
Как это выглядит в жизни
Песочный маятник. К потолку на верёвке подвешена воронка с песком. Её качают сразу в двух направлениях: вперёд-назад и влево-вправо, причём с разной частотой. Песок сыплется и рисует на полу узор. Это и есть фигура Лиссажу.
Другой пример: лазерная указка на подставке, которую качают два моторчика. Один водит луч влево-вправо, второй вверх-вниз, втрое быстрее. Точка на стене рисует такую же фигуру.
Что происходит физически
Синяя точка внизу — движение только по x, оранжевая слева — только по y. Пока синяя проходит туда-обратно один раз, оранжевая успевает три раза.
- Точка одновременно колеблется по x и по y, и эти движения друг другу не мешают.
- Пока точка один раз проходит слева направо и обратно, вверх-вниз она успевает сходить три раза. Отсюда три «волны» в фигуре.
- Как проверить отношение частот по рисунку: кривая касается верхней стороны рамки 3 раза, а боковой 1 раз. 3 : 1 — это и есть ωy : ωₓ.
- Кривая замкнута: через 2π ≈ 6,28 с обе координаты одновременно возвращаются в начало, и точка идёт по тому же пути. Так бывает, когда отношение частот — целые числа.
- Сдвиг фазы меняет форму, а не число петель. Поставь на модели сдвиг 0: вместо «восьмёрки» получится одна незамкнутая линия, по которой точка ходит туда-обратно.
Формулы в двух словах
периоды 2π и 2π/3, общий период 2π
Что спросят
Что будет, если отношение частот иррациональное?
Траектория никогда не замкнётся: точка будет рисовать всё новые витки и со временем закрасит весь квадрат 0,4 × 0,4 м.
Как влияет разность фаз?
При тех же частотах меняется форма. При сдвиге 0 точка ходила бы туда-обратно по одной незамкнутой кривой. Отношение частот задаёт, сколько «петель», фаза — как фигура раскрыта.
Где это применяется?
На осциллографе по фигуре Лиссажу сравнивают частоты двух сигналов: считают касания сторон рамки. Песочный маятник рисует такие фигуры на полу.
Почему полный цикл 2π секунд?
Это наименьшее время, за которое укладывается целое число периодов обоих колебаний: один период по x (2π) и три по y (по 2π/3).
Шпаргалка
| Скорость | Производная координаты, наклон графика x(t). GPS: расстояние между отметками / время. |
| Ускорение | Производная скорости. Знак совпадает с v — разгон, противоположный — торможение. |
| Интеграл a(t) | Площадь под графиком = прибавка скорости (копилка). Константа = начальная скорость. |
| Центральная разность | Хорда через соседей слева и справа, ошибка ~ Δt². На краях односторонняя формула. |
| Ошибка растёт к t = 1 | Кривая сильнее гнётся, хорда хуже приближает касательную. |
| Ошибка a > ошибки v | Дифференцируем дважды, ошибки копятся; деление на малый шаг их усиливает. |
| Пружина | Тянет к центру, сила ~ смещению. Край: v = 0, |a| max. Центр: a = 0, |v| max. |
| ω₀ = √(k/m) | Жёстче — быстрее, тяжелее (инертнее) — медленнее. От амплитуды не зависит. |
| Фазы | v опережает x на π/2; a в противофазе с x. |
| Амплитуда | Задаётся начальным отклонением, от массы не зависит. |
| Трение | Забирает энергию в тепло, размах ~ e−βt, частота чуть ниже. Очень большое — колебаний нет (мёд, амортизатор). |
| Вынужденные | Сначала неразбериха, потом колебания с частотой силы. |
| Резонанс | Качели: толкаешь в такт — сила всегда по ходу движения, размах max, ограничен только трением. φ = π/2. |
| Фаза силы | Медленная сила: φ ≈ 0, пружина успевает. Быстрая: φ ≈ π, инерция мешает. |
| Одна частота | Стрелки складываются: в фазе a₁ + a₂, в противофазе |a₁ − a₂| (шумоподавление). |
| Биения | Расстроенные струны: размах «дышит» с частотой Δω, период 2π/Δω. |
| Лиссажу | Песочный маятник. Касания верх : бок = ωy : ωₓ. Целое отношение — кривая замкнута. |